FONKSİYON
TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.
Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,
a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.
b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.
A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.
f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.
TERS FONKSİYON:
f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.
f: A B f-1 : B A
f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)
BİLEŞKE FONKSİYON:
f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.
ÖZELLİKLERİ:
1) fog gof
2) (fog)oh = fo(goh
3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)
4) foI = Iof = f
5) (f-1)-1 = f
6) (fog)-1 = g-1of-1
7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1
8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h
ÖRNEKLER:
1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir?
Çözüm:
(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )
= g(- 3) = - 3 + 1 = - 2
2. f ve g : R R’ye
f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.
Çözüm:
3. f ve g : R R’ye
f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?
Çözüm:
(gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1
g (x) = (3x + 2) of-1
f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.
4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?
Çözüm:
(f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)
g (x) = f-1 o(6x + 1)
f (x) =
g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)
g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4
5. f ve g : R R’ye
(gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?
Çözüm:
(g-1ogof)(x) = g-1 o
LİMİT
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
TANIM
A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t
x xo
şeklinde gösterilir.
SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
SAĞDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde
x x+o
gösterilir.
SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2
x x-o
ÖRNEK:
x2 + 1, x 0 ise,
x + 1 , x < 0 ise,
fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?
ÇÖZÜM:
lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
x 0+ x 0+
lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
x 0- x 0-
O halde lim f(x) = 1 dir.
x 0
LİMİT TEOREMLERİ:
1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)
x x0 x x0 x x0
2) lim (f(x).g(x)) = lim f(x).lim g(x)
x x0 x x0 x x0
3) lim c = c (c R)
x x0
4) lim (c.f(x)) = c . lim f(x)
x x0 x x0
5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise
x x0
TÜREV VE UYGULAMALARI
TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.
limiti bir gerçel sayı ise,
bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.
a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?
ÇÖZÜM:
a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.
TÜREV ALMA KURALLARI:
1) c R olmak üzere
f (x) = c f’(x) = 0
2) f (x) = x f’(x) = 1
3) f (x) = cx f’(x) = c
4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1
5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x
6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x
7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u
8) f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t
+ t’x . u . v
9) f (x) =
10) f (x) =
ÖRNEKLER:
1. f (x) = 5 f’(x) = 0
2. f (x) = f’(x) = 0
3. f (x) = x5 f’(x) = 5x4
4. f (x) = x f’(x) = 1
5. f (x) = 2x f’(x) = 2
6. f (x) =
7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2
8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
= 11(3x2 + 5)10 . 6x
= 66x (3x2 + 5)10
9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
olur.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
A)
1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx
3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x
4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)
ÖRNEKLER:
1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)
4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)
İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3x2) = 3x2 + C
3. 5x4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER:
1.
2. 12dx = 12x + C
3.
4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du
TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A. Cos x dx = Sin x + C
B. Sin x dx = - Cosx + C
C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx
D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =
=
ÖRNEKLER:
1. Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u -Sin x dx = du
Sin x dx = - du
u2 . (-du) = - u2 . du
2. Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:
3. Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A.
B.
C. eu du = eu + C
D.
ÖRNEKLER:
1.
2. tan x dx = ?
ÇÖZÜM:
Cos x = u - Sin x dx = du
Sin x dx = - du
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3x2) = 3x2 + C
3. 5x4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx
MUTLAK DEĞER
Tanım sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve │x│ ile gösterilir.
x , R nin elemanıdır ve
│x│ ={x, x > 0 ise
{-x,x < 0 ise
şeklinde tanımlanır.
│f(x)│ ={f(x),f(x) > 0 ise
{-f(x),f(x)< 0 ise
Örnek: x =-3 için │x-5│ - │x+2│ ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm: │-3-5│ - │-3+2 │ = 8-1=7
Örnek: a<b<0olduğuna göre,
│a+b│ - │a-b │ ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: │a+b│ - │a-b│ = -(a+b) -[ -(a-b) ]
=-a-b+a-b
=-2b
ÖZELLİKLERİ
a,b elemandır R için
1) │a│≥ 0 dır
2) │a │ = │ -a│
3) - │ a│≤a ≤│a│
4) │a.b│ = │a│.│b │
5) b≪ 0 için │a/b │= │a│ / │b │
6) │IaI-IbI│≤│a+b│ < │a│ + │b │ (üçgen eşitsizliği)
7) n elemanıdır Z+ olmak üzere │an │ = │a│n
8) a> 0,x elemanıdır R ve │x│< a ise -a <x <a
9) a>0,x elemanıdır R,│x│≥ a ise x≥ a veya x ≤ -a dır.
10)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
11)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
12)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a
13)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a
İSPATLAR
Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
a > 0 ise IaI = a >0
a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
O halde IaI > 0 dır.
Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
Öz.6) a elemanıdır R için -IaI ≤ a ≤ IaI
b elemanıdır R için -IbI ≤ b≤ IbI
+
-IaI-IbI≤a+b≤IaI+IbI
O halde Ia+bI < IaI+IbI dir.
Öz.7) a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi.
Ia nI=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaIn dir.
(n tane) ( n tane )
Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.
a)a < 0 ise IaI = -a dır.
IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır.
-IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır.
b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır.
c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır.
-IaI≤ 0≤ IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.
MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz.
Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur.
1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5
3x = 12 3x = 2
x = 4 x = 2/3
Ç={4,2/3}
Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm: Ix-7I = 7-x ise
x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir.
O halde 8 tane doğal sayı vardır.
Soru: = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm: = 2
5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2
5-2x = 6 veya 5-2x = -6
x = -1/2 veya x = 11/2
Ç ={-1/2,11/2}
Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir?
Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5
4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5
I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9
2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm
x = 2 x = 1
O halde x+x = 2+1 = 3 olur.
Uyarı:Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme () olur.
MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER
Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7
=4<x<10 Ç={5,6,7,8,9}
Soru:I 3x+2 I+9 > 2 eşitsizliğini çözünüz.
Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7
***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.
Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3
= -1 < Ix-5I < 5
Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5
= 0 < x < 10
Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2
= -2+7 < 2x < 2+7
= 5 < 2x < 9
= 5/2 < x < 9/2
Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur.
Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4
Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9
= -9+3 < 3x < 9+3
= -6 < 3x < 12
= -6/3 < x < 12/3
= -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3
= 1+2 < x < 3+2
= 3 < x < 5
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar = {3,4,5} tir.
MUTLAK DEĞER İLE İLGİLİ KARIŞIK
ALIŞTIRMALAR
Soru 3: |x| 2 => -2<x<2 dir.
Soru 4: |x| 2 => x > 2 veya x < -2 dir.
Soru 5: |x-1| = 3 => x-1=3 veya x - 1 = -3
x = 4 veya x = -2 dir.
Soru 6: a<b<0<c olmak üzere;
a +c + b-c+c - a
= -a + c - (b - c) + c – a
= -a + c-b + c + c- a
= 3c - 2a - b dir.
Soru 7:x-5= 3 => x - 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
x = 8 veya x = 2
x = 8 veya x =- 8 veya
x = 2 veya x =- 2 dir.
Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
Soru 8: ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
x-1 = - 10 olamayacağından kök yoktur.
x-1 = 2 ise x - 1 = 2 veya x - 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
Ç.K = {-1,3}
Soru 9: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
*** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
Soru 10: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10
Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
Ç = {O}
x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14
Soru11: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14
Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8
I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
Ç = {O}
x-1 = 3 veya x-1 = -3
x = 4 veya x = -2
x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)
Soru 12: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7
Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
Ç = {O}
x-2 = 10 veya x-2 = -10
x = 12 veya x = -8
x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)
Soru 13: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
Çözüm:
I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I
= I 7-[3-5] I
= I 7-(-2) I
= I 7+2 I
= I 9 I = 9
Soru 14: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2
Çözüm: I Ix-2I-5 I
Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
x = 8 x = -4 x = 6 x = -2
Soru 15: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999)
Çözüm:
Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4
= -6 < x < 2
Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)
Soru 16: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 (ÖSS 2000)
Çözüm:
IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir.
x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.)
Soru 17:
f(x) = 12 fonksiyonunun en büyük değeri
Ix-1I+Ix+3I
nedir?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Çözüm:
x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise,
f(-3) = 12 = 12/4 =3 tür.
I-3-1I+I-3+3I
( Cevap B dir.)
Soru 18:x-1 6 olduğuna göre, x - 2y + 2 = O koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2000-ÖSS)
ÇÖZÜM
x-2y + 2 = 0 => x = 2y- 2 dir.
x < 6 => 2y - 2 6 => -6 2y - 2 < 6 dır.
Buradan, -4 < 2y < 8 => -2 < y < 4 bulunur.
Bu koşulu sağlayan y tamsayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 olup 7 tanedir.
Cevap: A'dır.
Soru 19:x+24 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM
x+24 ise < 4 ise -4 < x + 2 < 4
-4-2<x+2-2<4-2
-6 < x < 2
x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır.
Cevap: B'dir.
Soru 20: x < 0 olmak üzere x-|x-8| - 8 ifadesi aşağıªdakilerden hangisine eşittir?
A)16 B)-2x C)-4x D)-2x+16 E)-4x+16 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM
x-|x-8| - 8 = ?
x-8| = -(x-8) = -x+8
(-)
= x-(-x+8) - 8 |2x-8|-8
(-)
= - (2x - 8) - 8 = -2x + 8 - 8 = -2x
Cevap: B'dir.
Soru22: |x-4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerleªrinin toplamı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 (2001-ÖSS)
ÇÖZÜM
Mutlak değerin içini 0 yapan değerler x = 4 ve x = 0 dır. x < 0 için, -x + 4-x = 8 olur.
-2x = 4 => x = - 2 dir.
0 < x < 4 için, -x + 4 + x = 8 olur.
4 = 8 olduğundan bu aralıkta sağlayan x değeri yoktur. x > 4 için, x - 4 + x = 8 olur.
2x = 12 => x = 6 dır.
x değerleri toplamı -2 + 6 = 4 olur.
Cevap: B'dir.
Soru 23: x < 0 < y olduğuna göre
3. |x-y|
|y+|x| |
y+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)-3x B)-3y C) 3 (x + y) D) - 3 E) 3 (1995-ÖSS)
ÇÖZÜM
3 |x - y| ifadesinde (x - y) < 0 olduğundan
3 |x - y| = - 3 (x - y) olur.
Benzer şekilde x<0 => |x| = - x olur.
| y + |x| | = |y-x| = y-x
+
3(x-y) = -3(x-y) =3
y-x -(x-y)
Cevap: E'dir...
rasyonel sayılar
1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir.Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
NOTıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.
Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.
Q = Q- U {0} U Q+
-1-
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.
ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20
Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20
2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.
ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9
Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.
ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3
3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
ÖR: 18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18
3 4 57 7:4=1,75 57 4 3
48:57=0,84
-2-
Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
ÖR: 2 ile 4
3 5
C-İrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek
sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
-3-
2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.
Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.
ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5
b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.
-4-
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.
c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
-5-
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
ÖR: -7 -7 -7 -7
9 9 9 9
buna göre;
-7 -7
9 9
e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.
ÖR: +5 -5
20 20
-5 +5
20 20
4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.
Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.
5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani:
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
1 4 1 x 4 4
NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.
6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
-7-
b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: -19 -1 +19
20 3 60
-1 -19 -19
3 20 60
c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
d)Yutan eleman:
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.
e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.
-8-
f)Ters eleman:
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.
g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
-9-
7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani: + x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -
+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.
(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.
-10-
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.
Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.
Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır.
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.
NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.
NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
ÖZDEŞLİKLER ve ÇARPANLARA AYIRMA ( I )
Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin
de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar
Asal polinomlar denir.
* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3x2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = - x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.
P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur.
Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru
olan eşitliklere özdeşlik denir.
* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir.
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
I) Tam Kare Özdeşliği:
a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.
c) Üç Terim Toplamının Karesi:
(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.
II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :
a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin
cinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir
Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli
lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.
III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2
İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile
ikincinin karesinin farkına eşittir.
IV) xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :
i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)
iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)
iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)
v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)
Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz
1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
3 x 3 x 3 x 3 x 3 ifadesini kısaca
35 şeklinde yazabiliriz.
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 tir.
35 sayısı üç üssü beş veya üçün beşinci kuvveti diye okunur.
Bu sayıda taban 3, üs ise 5 tir.
*
Örnek
2 x 2 x 2 = 23,
3 x 3 x 3 x 3 = 34,
a x a x a = a3,
a x a x a x a = a4* gibi yazılabilirler.
*
*
A. TANIM
a bir gerçel (reel) sayı ve n bir sayma sayısı olmak üzere,
ifadesine üslü ifade denir.
k . an ifadesinde k ya kat sayı, a ya taban n ye üs denir.
*
*
B. ÜSLÜ İFADENİN ÖZELİKLERİ
* 1.* a ¹ 0 ise, a0 = 1 dir.
* 2.* 00 tanımsızdır.
* 3.* n Î IR ise, 1n = 1 dir.
* 4.*
* 5. *(am)n = (an)m = am . n
* 6. *
* 7. *
* 8.* Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
* 9.* Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10.* n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.
b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.
c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi
a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
C. ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA
1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,
Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.
Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.
*
*
D. ÜSLÜ İFADELERDE DÖRT İŞLEM
1.* x . an + y . an – z . an = (x + y – z) . an
2.* am . an = am + n
3.* am . bm = (a . b)m
E. ÜSLÜ DENKLEMLER
1.* a ¹ 0, a ¹ 1, a ¹ – 1 olmak üzere, ax = ay ise x = y dir.
2.* n, 1 den farklı bir tek sayı ve xn = yn ise, x = y dir.
3.* n, 0 dan farklı bir çift sayı ve xn = yn ise, x = y veya x = – y dir.
fonksıyonlar
A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.
f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.
(f – 1) – 1 = f dir.
(f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.
y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
iv) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir...
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
A. TANIM
a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.
*
B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ
1)* a = b ise, a ± c = b ± c dir.
2)* a = b ise, a . c = b . c dir.
3)* a = b ise,
4)* a = b ise, an = bn dir.
5)* a = b ise,
6)* (a = b ve b = c) ise, a = c dir.
7)* (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d
8)* (a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.
9)* (a = b ve c = d) ise,
10)* a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.
11)* a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.
12)* = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.
*
C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ
1) a ¹ 0 olmak üzere,
*** ax + b = 0 ise,
2) (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.
3) (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.
*
D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ
a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.
Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm
TEMEL KAVRAMLAR
A. SAYI
1. Rakam
Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
*
2. Sayı
Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.
Üç basamaklı abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.
*
Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir.
*
B. SAYI KÜMELERİ
1. Sayma Sayıları
{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.
*
2. Doğal Sayılar
={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.
*
3. Pozitif Doğal Sayılar
= {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.
*
Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.
*
4. Tam Sayılar
= {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.
Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi: , pozitif tam sayılar kümesi: ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir.
Buna göre,
*
5. Rasyonal Sayılar
a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
biçiminde gösterilir.
*
6. İrrasyonel Sayılar
Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.
biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.
*
Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.
*
sayıları birer irrasyonel sayıdır.
*
7. Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
biçiminde gösterilir.
*
8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar
kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.
*
C. SAYI ÇEŞİTLERİ
1. Çift Sayı
olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.
Ç = {... , – 2n , ... , – 4, – 2, 0, 2, 4, ... , 2n , ...}
biçiminde gösterilir.
*
2. Tek Sayı
olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.
T = {... , – (2n + 1), ... , –3, –1, 1, 3, ... , (2n + 1), ...} biçiminde gösterilir.
T : Tek sayı
Ç : Çift sayıyı göstersin.
*
*
Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.
*
• Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
• Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
• Sıfır (0) çift sayıdır.
*
3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.
*
Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,
•** a, b birer negatif sayıdır.
•** c, d birer pozitif sayıdır.
•** İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
•** İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
•** Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
**** m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.
•** Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
•** Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
•** Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
•** Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
•** Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
•** Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
*
4. Asal Sayı
Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.
•* En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
•* Asal sayıların çarpımı asal değildir.
*
5. Aralarında Asal
Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.
*
D. ARDIŞIK SAYILAR
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.
*
Ü* n bir tam sayı olmak üzere,
•** Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
**** n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.
•** Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
**** 2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.
•** Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
**** 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.
•** Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
**** 3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.
*
Ardışık Sayıların Toplamı
n* bir sayma sayısı olmak üzere,
•* Ardışık sayma sayılarının toplamı
***
•** Ardışık çift doğal sayıların toplamı
**** 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)
•** Ardışık tek doğal sayıların toplamı
**** 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
*
•** Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı
**** r : İlk terim
*** n : Son terim
*** x : Artış miktarı olmak üzere,..
I. BELİRSİZ İNTEGRAL
I.1.Belirsiz İntegralin Tanımı: Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x)’in ilkel fonksiyonu ve diferansiyeli f(x)dx olan F(x) fonksiyonunda f(x)dx ‘in belirsiz integrali denir.
dF(x) = f(x)dx veya =f(x)
İse
F(x) = ∫ f(x)dx
Dir. Genel olarak:
∫ f(x)dx = F(x) + c
dir. Buradaki C keyfi sabittir.
I.2 BAŞLICA İNTEGRAL TEOREMLERİ VE İNTEGRAL TABLOSU
u ve v(x)’in fonksiyonları: a,b,c sabitler olmak üzere aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
1 ∫ df(x) = f(x) + c
2 ∫ d f(x) = f(x)dx
3 ∫ odx = c
4 ∫ a f(x)dx = a ∫f(x)dx
5 ∫ (u + v +w + …)dx = ∫ udx + ∫vdx + ∫wdx + …
6 ∫ udv = uv –∫ vdu
7 ∫ = dx = uv- ∫v dx
8 ∫ f(y)dx = ∫
9 ∫ du =
10. ∫ = logu + c
11 ∫ du =
12 ∫ audu =
13 ∫ sinudu = - cosu + c
14 ∫ cosudu = sinu + c
15 ∫ tgudu = logsecu + c = -logcosu + c
16 ∫ cotgudu = logsinu + c
17 ∫ secudu = log (secu + tgu) + c = log + g ( + c
18 ∫ cosecudu = log (cosecu – cotgu) + c = log + g + c
19 ∫ udu = u + sin u cos u + c = u - sin 2u + c
20 ∫ udu = u + sin u cosu + c = u + sin 2u + c
21 ∫ udu + tgu + c
22 ∫ udu = - cotgu + c
23 ∫ udu = tgu – u+c
24 ∫ udu = -cotgu - u + c
25 ∫ = arctg + c
26 ∫ = log ( ) + c
27 ∫ = arcsin + c
28 ∫ = log (u + ) + c
29 ∫ = log (u + ) + c
30 ∫ du = .arcsin + c
31 ∫ .du =–
32 ∫
33 ∫ shudu = chu + c
34 ∫ chudu = shu + c
35 ∫ thudu = log (chu) +c
I.3. İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
Değişken Dönüştürme Yöntemleri
Değişken dönüştürümü yardımıyla integral hesabı yöntemi diferensiyelin ifadesinin seçilen değişkene bağlı olmaması özelliğine dayanır.
Bu yöntem,
f(x)dx
integralini x değişkenine
x = g(t)
Denklemi ile bağlı olan yeni bir t değişkenin fonksiyonu olarak ifade etmekten ibarettir.
g(t) nin sürekli bir (t) türevinin olduğu varsayılarak,
f(x)dx = f [g(t)] (t)dt
Olduğundan,
∫ f(x)dx = ∫ f[g(t)] (t)dx yazılır.
Hesaplanması istenilen bir belirsiz integral , uygun bir değişken dönüştürümü ile bilinen bir
şekle sokulursa, integral yeni t değişkeni cinsinden elde edilir. Sonucu x cinsinden ifade etmek
için, x = g(t) bağıntısından t çözülerek sonuçta yerine koymak yeterlidir.
ve ti ihtiva eden İntegraller :
halinde x = t sin ℓ veya x= t.cos ℓ
halinde x = t.sec ℓ
halinde x = t tg ℓ
değişken dönüştürmeleri yapılır.
I.3.2 Kısmi İntegrayon Yöntemi:
U ve v ile, x’in bir [a,b] aralığında sürekli türevleri olan iki fonksiyonunu gösterelim.
uv çarpımının diferensiyeli
d(uv) = udv + vdu ‘ dır. Buradan
udv=d(uv)-vdu
yazılır. Bu bağlantının iki tarafının belirsiz integralleri birbirine eşittir:
∫udv = ∫d(uv) – vdu veya
∫udv = uv – ∫vdu ‘ dur.
Kısmi integrasyon metodu bu formül ile verilmiştir ve yöntemin esası hesaplanması istenilen
∫ udv yerine hesaplanması daha kolay olabilen
∫ vdu belirsiz integralini kaymayı mümkün kılar.
II. BELİRLİ İNTEGRAL
II.1 Belirli İntegralin Tanımı: f(x) , x = a dan x = b’ye kadar olan aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu aralığı , apsisleri a, ,….,xn - 1, b olan n parçaya bölelim. Aralıkların boyları,
, …. , ∆xn olsun. Bu aralıkların her birinde x’in x’1, x’2 , x3’…., x’n gibi herhangi
değerleri alalım f(x)’in x = a , x=b imitleri arasındaki belirli integrali diye:
f(x) dx = ℓim f(x ;) ∆x, + ℓ( ’) x2+… + f( 1)
n→ 8
= ℓim ∑ f(xi1) xi
n→ 8
=| ∫ f(x) dx| b = F(x) b = F(b) – F(a)
Ya denir. Buradaki F(x) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur.
II.2.Belirli İntegrale Ait Başlıca Teoremler
B f1(x) + f2(x) +….+ fn (x) dx= f1 (x) dx + b f2(x) dx +…+ b fn (x) dx
k.f (x) dx = k. B f(x) dx
f (x) dx = - a f(x) dx
f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx
f(x) dx = (b-a)f(x1)
f(x)dx = Lism f(x) dx
III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden
Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali
(Yarım Açı Metodu)
P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere
I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.
Trigonometriden sinx= , cosx= olduğu biliniyor.
R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
∫R (sinx,cosx) dx integrali u = tan değişken dönüştürme ile R , u’nun rasyonel fonksiyonu
Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür.
Gerçekten x = 2Arctonu
dx =
sinx =
Tan
COSX =
eşitlikleri kullanılarak ∫R(sinx , cosx) dx integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur.
I.2. ∫sinax.coobxdx, ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller
Bu integrali almak için
Sinax . Sinbx = [cos(a-b)x- cos (a+b)x]
sinax . cosbx = [ sin(a-b)x – sin (a+b)x]
Sinax . cosbx = [cos (a-b)x- cos(a+b)x]
I .3.Sinx ve coox Cinsinden Bir Polinomun İntegrali
Bu integraller, a ve b pozitif tam sayı olmak üzere ∫ şeklindeki terimleri ihtiva ederler. Bu tür integrallerin alınmasında üç durumdan söz edilebilir. Bunlar a ve b’nin ikisininde tek olma, birinin tek birinin çift olma ve ikisininde çift olma durumudur, Bunları tek tek inceliyelim.
a) a ve b’nin Tek olma Durumu
∫ şeklindeki integralde a ve b tek ise bu integral rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
∫R(sinx)cosxdx veya ∫R(cosx)sinxdx şekline dönüşür. Bu durumda sırayla sinx = t ve cos
x = t değişken değiştirmesi yapılır. Bunu biraz daha açıklayalım a ve b ikiside tek ise p,q € N
olmak üzere a = 2p +1, b = 2q + 1 olur.
∫ = ∫ = ∫ sinxdx
= ∫ ( )p cos 2q+1 xdx = ∫r(cosx)sinxdx
veya
∫ = ∫ = ∫ ,
=∫ xcosxdx = ∫R(sinx)cosxdx
Uyarı! sinax. coobx dx integralinde a ve b’ nin ikiside tek olduğu zaman küçük olanı parçalamak, daha kısa yoldan integralin alınmasını sağlar.
b) a ve b’ den birinin tek birinin çift olma durumu
Bu durumda ave b’den hangisi tek ise onun için a b’ nin tek olma durumunda kullanılan yol takip edilir.
C ) a ve b’nin çift olma durumu
Bu durumda p’q’ € N olmak üzere a=2a , b=2q olur.
Sinaxcosbxdx = sin2p cos2qxdx = (sin2x)p . cos2x)q dx olur.
Bu integrali almak için;
= , = eşitliklerinden faydalanabilir.
I.4.D ∫f(sinx, coox)dx Şeklindeki İntegraller İçin Özel Metodlar
∫R (sinx, coox )dx şeklindeki integrallerin alınmasında integrand rasyonel ise yarım açı metodu daima kullanılabilir. Fakat bazı durumlarda bu dönüşüm çok karmaşık rasyonel fonksiyonların integrallerini götürür. Onun için bu integralleri sonuca hemen götürecek özel metotlardan faydalanılacaktır. Bunlardan bazılarını açıklayalım.
a) ∫g (sinx,)coox dx veya ∫g (coox) sinxdx şeklindeki İntegraller
ℓ(sinx, coox) ifadesi, sinx, in üssü pozitif ve tek ise bu ifade g(coox)sinx şekline, coox’in üssü pozitif ve tek ise g(sinx) coox şekline getirebilir.Bu durumda sırayla sinx=t, coox=t değişken değiştirmesi yapılarak integral alınır.
b)∫R(tanx)dx veya ∫R(cotonx)dx Şeklindeki İntegraller
f(sinx,coox) ifadesi R(tanx) ve R(cotonx) şekline getirilebiliyorsa sırasıyla tanx=t veya coton
x=t değişken değiştirmesi uygun olur.
c) ∫R(sinx,coox)dx integral inde sinx ve coox’in üssünün çift olma hali
sinx ve coox’in üssü çift olduğu zaman tonx =t değişken değiştirmesi yapmak uygun olur.
d) tanpx.secqx dx şeklindeki integraller
p nin pozitif tek sayı olma durumu
p=2n+1 (n€N ) olsun. Bu takdirde
∫ = ∫ = ∫ elde edilir. eşitliği dikkatle alınırsa
∫( )tanx = ∫( ) . x.tanx.secxdx = ∫ℓ(secx)tanxsexdx elde edilir
secx = u değişken değiştirmesi yapılırsa tansecx= du olur. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa verilen integral
∫ = ∫ d( ) . du şekline dönüşür.
q’nun Pozitif Çift Olma Hali
q=2a (a € N+) olsun . Bu durumda
∫ ( )dx = ∫ tanpx xdx=∫tanpxd
∫ tanpx( ) = ∫tanpx(1+tan2x) . = f(tanx) elde edilir. tanx=u
değişken değiştirmesi yapılırsa sec2xdx = du olur.
Bu değerler yukarıda kullanılırsa
∫Tanpxsecqxdx= ∫f(u)du şekline dönüşülür.
e) ∫ integralinde a+b’nin Negatif ve çift sayı olma hali
Çift sayı olma hali
A+b=-2p (p € N+) olsun. Bu durumda verilen integral
∫ , = ∫ .
∫tannx dx = ∫tann x ( )pdx=∫ tannx(1+tan2x)pdx şekline girer . tanx = t değişken değiştirmesi yapılırsa
= . = ∫ şekline dönüşür.
f) ∫ dx Şeklindeki İntegraller
Bu tür integrallerde trigonometrik özdeşliklerden istifade edilecek kök dışına çıkarılmalıdır.Bu yapılamıyorsa uygun değişken değiştirme aranmalıdır.
III.1.2 ∫sinax.sinbxdx, ∫sinax.cosbxdx, ∫cosox.cosbxdx
1)∫cos4xcos3xdx integralini hesaplayınız.
∫cos4xcos3xdx = ∫ (cos7x+cosx)dx
=
=
2)∫ . integralini hesaplayınız.
∫ ∫
=
=
=
3) ∫sinx, sin3xdx integrallerini hesaplayınız.
=∫sinx,sin3xdx = ∫[cos2x-cos4x]dx
=
4) ∫cos(x+b.cos(ax-b)dx integralini hesaplayınız.
=∫cos(ax+b).cos(ax-b)dx = ∫(cos2ax + cos2b)
=
=
5)∫sin(1-x).cos(1-x)dxintegralini hesaplayınız.
=∫sin(1-x).cos(1-x) dx = ∫(sin(2-2x) +sinO) dx
=
=
6) ∫sinx.sin2x.sin3xdx integralini hesaplayınız.
= ∫sinx.sin2x.sin3xdx = ∫
= ∫(sin2x.cos2x – sin2x.cos4x)dx
= ∫[
= ∫(sin4x – sin6x +sin2x)dx
=
=
7) integralini hesaplayınız.
= ∫(
2 π
=(
8) ∫sin ( sin x) sin2xdx integralini hesaplayalım.
u=sin x du = 2sinxcosxdx
du = sin2xdx
∫ sin ( sin x) sin2xdx = ∫sinu.du
= -cosu + c
= -cos(sin x)+c
9) sin3xcos5xdx integralini hesaplayınız.
= sin3xcos5xdx = ∫(sin (-2x) + sin8x) dx
=
= 1 (cos4x – cos8x) = 1 [(1-1)-(1-1)] = 0
10) sin2xcosbxdx integralini hesaplayınız.
= sin2xcosbxdx = [ sin8x + sin(-4x)]
=
=
= ( =
= 0
III.1.3. ∫ sinx.cosbxdx
1) ∫ integralini hesaplayınız.
∫cos x.sin xdx=)∫cos x.sin x.sinxdx= ∫cos x(1-cos x) . sinxdx
cosx = u
-sinxdx = du olur.
=∫(cos x.sin xdx) = -∫u (1-u ) du = -∫u (1-4u -6u -4u -u )du
=∫(u d-4u +6u – 4u + u )du =
=
2) ∫ integralini hesaplayınız.
∫ = ∫
Sinx = u → cosxdx = du
∫ = ∫
= ∫
=
=
=
3) ∫ integralini hesaplayınız.
Tanx = u sinx = , cosx = , dx=
∫ = ∫ .
=∫((
=
4) integralini hesaplayınız.
=∫ = ∫
Sinx = u → cosxdx = du
= ∫
=
5) integralini hesaplayınız..
cosx=u
∫ = -∫cos3x(1-cos2x)2du
=-∫u3(1-u2)2du=-∫
=(
=(
III.2. BİNOM İNTEGRALİ
III.2.1. BİNOM İNTEGRAL HESABI
∫ integrali
α β γ Rasyonel sabitler, a ve b reel sabitler olduğuna göre, verilen integral içindeki ifadeye binom diferansiyeli denir. Aşağıdaki üç halden birinde bulunuyor isek bu integrali esaplamak mümkün olabilmektedir.
I. γ tam bir sayı ise integral ∫R x ,x )dx şeklinde olur. α ve β ‘nın paydalarının en küçük ortak katı N ise
X =
Dönüştürmesi yapılır..
II. tam sayı ise
Ax β+b = t
Dönüştürmesi yapılarak
= , x= ( )1/β ; = (
dx =
Olup
∫ = ∫ (
İntegraline varılır. Bu ise aynı tipte bir integraldir. Ancak α+1/β bir tamsayı olduğu için α+1/β -1 de tamsayı olarak bu integral I. Halde yani γ’nin tamsayı olması hali,ndeki integral şeklinde olacaktır. O halde t γ ‘nın üssü olan γ’nın paydası x ise N= x olarak
T=
Dönüştürmesi yapılmalıdır. Böylece u’nun rasyonel bir fonksiyonunun integraline varılır.d Bu iki dönüştürme birleştirilirse bu halde
Ax+b = uv
Dönüştürmesini yapmak gerekir.
II. tamsayı ise
∫x (ax + b)γ dx = ∫x [ +bx- ] γ dx
∫x ( a+bx – )dx
Yazılarak II. hal uygulanır.
Gerçekten yukarıdaki yerine burada
-β β
Gelmiş olurki bu da hipoterimize göre tam bir sayıdır. O halde
yani
Dönüştürmesi yapılır.
III. 2.2. BİNOM
1) dx integralini hesaplayınız.
M=-1, n=2, p=
1+x =t x=1 → t= dx = tdt
x=2 → t=5
. = √
= =( -[( ℓn │)-( ℓn │ │ )]
=( │ )-( 1 ℓn │ │ )]
2) = integralini hesaplayınız.
α + 1 = = 2 olup tam γ = olup 1+
x= için = x = 2 için √1+22 = √5
1+ = x = ( -1)- 2udu
dx = ( )- 2udu
dx = 1 2udu
= = ) |
=[
3) ∫ integralini hesaplayınız.
, = = 2 € Z olduğundan
= → x = değişken değiştirmesi yapılır. x ve dx değerleri integralde yerine yazılırsa
∫ = ∫
= ∫
= ∫ = ∫
=
=
4) I = ∫ integralini hesaplayınız.
→ 2xdx =
integralini hesaplayınız
(tam değil)
dönüştürme yapılırsa
integrali basit kesirler oplamı şeklinde yazılarak alınırsa
=
Değeri yerine yazılırsa
integralini hesaplayınız.
K=
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder